卡尔曼滤波器:数据融合

卡尔曼滤波器学习笔记

【卡尔曼滤波器】_DR_CAN合集学习笔记

数据融合（Data Fusion）

假设用两个测量误差不同的秤,测量同一个的物体的质量，两个秤的测量误差都符合正态分布，

数据融合就是综合两个秤的测量结果和测量误差，估计物体的真实质量。

	A秤	B秤	说明
测量结果	$z_1=30g$	$z_1=32g$
测量误差	$\sigma=2g$	$\sigma=4g$	正态分布标准差

估计真实值

令：

$$\begin{align*} \hat{Z} &= Z_1 + K(Z_2-Z_1) & K∈[0,1]\\ \text{估计值} &= \text{测量结果1} + \text{系数K}(\text{测量结果2}-\text{测量结果1}) \end{align*}$$

计算K

要使得估计值最接近真实值,

• 即要使估计值的标准差$\sigma(\hat{Z})$最小，
• 即方差$\sigma^2(\hat{Z}) = \text{Var}(\hat{Z})$最小

Var(X) 表示随机变量X的方差

$$\begin{align*} \sigma^2(\hat{Z}) &= \text{Var}(\hat{Z}) \\ &= \text{Var}(Z_1+K(Z_2-Z_1)) \\ &= \text{Var}(Z_1+KZ_2-KZ_1) \\ &= \text{Var}((1-K)Z_1+KZ_2) \\ &= \text{Var}((1-K)Z_1)+\text{Var}(KZ_2) & \text{(两个随机变量相互独立)} \\ &= (1-K)^2\text{Var}(Z_1)+K^2\text{Var}(Z_2) \\ &= (1-K)^2\sigma^2(Z_1)+K^2\sigma^2(Z_2) \\ \end{align*}$$

要想知道K取何值时方差最小，即求其对k的导数=0

$$\begin{align*} \frac{d(\sigma^2(\hat{Z}))}{dK} &= 0 \\ \frac{d((1-K)^2\sigma^2(Z_1)+K^2\sigma^2(Z_2))}{dK} = 0 \\ -2(1-K)\sigma^2(Z_1) + 2K\sigma^2(Z_2) &= 0 \\ -(1-K)\sigma^2(Z_1) + K\sigma^2(Z_2) &= 0 \\ K\sigma^2(Z_1) - \sigma^2(Z_1) + K\sigma^2(Z_2) &= 0 \\ K\sigma^2(Z_1) + K\sigma^2(Z_2) &= \sigma^2(Z_1) \\ K(\sigma^2(Z_1) + \sigma^2(Z_2)) &= \sigma^2(Z_1) \\ K &= \frac{\sigma^2(Z_1)}{\sigma^2(Z_1) + \sigma^2(Z_2)} \\ \end{align*}$$

所以

$$\begin{align*} K &= \frac{\sigma^2(Z_1)}{\sigma^2(Z_1) + \sigma^2(Z_2)} \\ &= \frac{2^2}{2^2+4^2}\\ &=\frac{4}{4+16}\\ &=0.2 \\ \hat{Z} &= Z_1 + K(Z_2-Z_1) \\ &= 30 + 0.2(32-30) \\ &= 30+ 0.4 \\ &= 30.4 \\ \sigma^2(\hat{Z}) &= (1-K)^2\sigma^2(Z_1)+K^2\sigma^2(Z_2) \\ &= (1-0.2)^22^2+0.2^24^2 \\ &= 0.64 \times 4 + 0.04 \times 16 \\ &= 2.56 + 0.64 \\ &= 3.2 \\ \sigma(\hat{Z}) &= \sqrt{\sigma^2(\hat{Z})} \\ &= \sqrt{3.2} \\ &= 1.7888\\ \end{align*}$$

	A秤	B秤	估计
结果	$z_1=30g$	$z_1=32g$	$\hat{Z}=30.4$
误差	$\sigma=2g$	$\sigma=4g$	$\sigma=1.7888$