FOC算法学习与实现笔记-01.克拉克变换

克拉克变换

实际上，完成克拉克变换后得到的α和β值，描述的是电机定子内的磁场（力矩和方向）

• 克拉克变换就是把相位差为120度的三相电映射到二维平面上。
• 具体做法就是把三相电看成三个矢量（也反映了三个方向的磁场强度）
• 把三个矢量相加得到一个矢量（也反应了定子产生磁场的方向和强度）
• 这个矢量只需要用两个量（α、β）来表示。

电机内三相电的波形和磁场方向

克拉克变换后电机，α和β的波形和磁场方向

克拉克变换的本质就是把三个矢量相加

基本形式

基本形式的推导

• 这个推导过程很简单
• 就是分别计算三个分量作用在α轴、β轴上的值。
• 如
  • ia
    • 作用在α轴上 $I_α = \cos{0} * i_a$
    • 作用在β轴上 $I_β = \sin{0} * i_a$
  • ib
    • 作用在α轴上 $I_α= \cos{120} * i_b$
    • 作用在β轴上 $I_β = \sin{120} * i_b$
  • ic
    • 作用在α轴上 $I_α=\cos{-120} * i_c$
    • 作用在β轴上 $I_β=\sin{-120} * i_c$

代数形式：

$$I_\alpha = \cos{0\degree} * i_a + \cos{120\degree} * i_b + \cos{240\degree}* i_c \\ I_\beta = \sin{0\degree} * i_a + \sin{120\degree} * i_b + \sin{240\degree}* i_c \\$$

矩阵形式为：

$$\left[ \begin{matrix} I_\alpha \\ I_\beta \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \cos{0\degree} & \cos{120\degree} & \cos{240\degree} \\ \sin{0\degree} & \sin{120\degree} & \sin{240\degree} \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ i_c \\ \end{matrix} \right]$$

上面这里特意写成三角函数，因为感觉形式比较优美

简化后的矩阵形式为：

$$\left[ \begin{matrix} I_\alpha \\ I_\beta \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ i_c \\ \end{matrix} \right]$$

基本形式的化简

还可以利用基尔霍夫电流定律进一步化简：

$$i_a+i_b+i_c=0 \\ i_c=-(i_a+i_b)$$

变换矩阵

$$\left[ \begin{matrix} I_\alpha \\ I_\beta \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \cos{0\degree} & \cos{120\degree} & \cos{240\degree} \\ \sin{0\degree} & \sin{120\degree} & \sin{240\degree} \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ -(i_a+i_b) \\ \end{matrix} \right]$$

展开计算

$$I_\alpha = \cos{0\degree} * i_a + \cos{120\degree} * i_b + \cos{240\degree}* -(i_a+i_b) \\ I_\beta = \sin{0\degree} * i_a + \sin{120\degree} * i_b + \sin{240\degree}* -(i_a+i_b) \\$$

简化计算

$$I_\alpha = (\cos{0\degree}-\cos{240\degree}) * i_a + (\cos{120\degree}-\cos{240\degree}) * i_b \\ I_\beta = (\sin{0\degree}-\sin{240\degree}) * i_a + (\sin{120\degree}-\sin{240\degree}) * i_b \\$$

最终矩阵形式：

$$\left[ \begin{matrix} I_\alpha \\ I_\beta \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} (\cos{0\degree}-\cos{240\degree}) & (\cos{120\degree}-\cos{240\degree}) \\ (\sin{0\degree}-\sin{240\degree}) & (\sin{120\degree}-\sin{240\degree}) \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ \end{matrix} \right]$$

三角函数计算：

• $\cos{0^\circ} = 1$
• $\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}$
• $\cos{240^\circ} = -\frac{1}{2}$
• $\sin{0^\circ} = 0$
• $\sin{120^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin{240^\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

因此，

$$\begin{bmatrix} I_\alpha \\ I_\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 + \frac{1}{2}) & (-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \\ (0 + \frac{\sqrt{3}}{2}) & (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_a \\ i_b \end{bmatrix}$$

简化后得到：

$$\begin{bmatrix} I_\alpha \\ I_\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \sqrt{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_a \\ i_b \end{bmatrix}$$

基本形式的逆变换

为了找到给定矩阵的逆矩阵，我们首先需要计算原始矩阵。给定的矩阵为:

$$\mathbf{A} = \left[ \begin{matrix} \frac{3}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \sqrt{3} \end{matrix} \right]$$

接下来，我们需要找到这个矩阵的逆矩阵。对于一个2x2矩阵 $\mathbf{A} = \left[\begin{matrix}a & b \\ c & d\end{matrix}\right]$，其逆矩阵 $\mathbf{A}^{-1}$ 可以通过以下公式计算:

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left[\begin{matrix}d & -b \\ -c & a\end{matrix}\right]$$

因此, 对于我们的矩阵 $\mathbf{A}$:

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{ \left( \frac{3}{2} \right) \left( \sqrt{3} \right) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( 0 \right) } \left[ \begin{matrix} \sqrt{3} & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{3}{2} \end{matrix} \right]$$

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \left[\begin{matrix}\sqrt{3} & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{3}{2}\end{matrix}\right]$$

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{2}{3\sqrt{3}} \left[\begin{matrix}\sqrt{3} & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{3}{2}\end{matrix}\right]$$

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{2}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \left[\begin{matrix}\sqrt{3} & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{3}{2}\end{matrix}\right]$$

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{2}{3\cdot3} \left[\begin{matrix}3 & 0 \\ -\frac{3}{2} & \frac{3\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right]$$

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{2}{9} \left[\begin{matrix}3 & 0 \\ -\frac{3}{2} & \frac{3\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right]$$

$$\mathbf{A}^{-1} = \left[\begin{matrix}\frac{2}{3} & 0 \\ -\frac{1}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right]$$

因此, 原始矩阵的逆矩阵为:

$$\mathbf{A}^{-1} = \left[ \begin{matrix} \frac{2}{3} & 0 \\ -\frac{1}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \end{matrix} \right]$$

因此, 基本形式的逆变换为:

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} i_a \\ i_b \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & 0 \\ -\frac{1}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_\alpha \\ I_\beta \end{bmatrix}\\ i_c &= -(i_a + i_b)\\ \end{align*}$$

等幅值形式

等幅值形式的推导

• 简单来说，就是添加了一个系数，使得变换前后的电流的幅值都为1
• 先假设流入A相电流1A，则根据基尔霍夫电流定律，流出B相、C相的电流为-1/2A
• 求得Iα为3/2

$$\left[ \begin{matrix} I_\alpha=\frac{3}{2} \\ I_\beta=0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \cos{0\degree} & \cos{120\degree} & \cos{240\degree} \\ \sin{0\degree} & \sin{120\degree} & \sin{240\degree} \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a=1 \\ i_b=-\frac{1}{2} \\ i_c=-\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right]$$

• 为了让幅值相同，所以等式右边乘上一个2/3

$$\left[ \begin{matrix} I_\alpha=1 \\ I_\beta=0 \end{matrix} \right] = \frac{2}{3} \left[ \begin{matrix} \cos{0\degree} & \cos{120\degree} & \cos{240\degree} \\ \sin{0\degree} & \sin{120\degree} & \sin{240\degree} \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a=1 \\ i_b=-\frac{1}{2} \\ i_c=-\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right]$$

• 所以得到克拉克变换的 等幅值形式 ：

$$\left[ \begin{matrix} I_\alpha \\ I_\beta \end{matrix} \right] = \frac{2}{3} \left[ \begin{matrix} \cos{0\degree} & \cos{120\degree} & \cos{240\degree} \\ \sin{0\degree} & \sin{120\degree} & \sin{240\degree} \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ i_c \\ \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} I_\alpha \\ I_\beta \end{matrix} \right] = \frac{2}{3} \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ i_c \\ \end{matrix} \right]$$

等幅值形式的化简

通过观察可以发现，等幅值形式就是在基本形式的基础上乘上一个系数，所以这里直接在化简后的基本形式的基础上修改。

$$\begin{bmatrix} I_\alpha \\ I_\beta \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \sqrt{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_a \\ i_b \end{bmatrix}$$

等幅值形式的逆运算

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} i_a \\ i_b \end{bmatrix} &= \frac{3}{2} \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & 0 \\ -\frac{1}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_\alpha \\ I_\beta \end{bmatrix}\\ i_c &= -\frac{3}{2}(i_a + i_b)\\ \end{align*}$$

等功率形式

等功率形式就是在基本形式的基础上乘上$\sqrt{\frac{2}{3}}$

等功率形式的推导

等功率形式的化简

等功率形式的逆运算