初值

换路

假设电路在0时刻换路，定义：

• $0^-$ 换路前
• $0^+$ 换路后

换路定律

换路前后电容电压不能突变且电荷守恒

电容电压:

$$u_c(t) = u_c(0) + \frac{1}{C}∫_{0}^{t}idτ$$

经过换路后电容器两端的电压：

$$\begin{align*} u_c(0^+) &= u_c(0^-) + \frac{1}{C}∫_{0^-}^{0^+}idτ \\ &= u_c(0^-) + 0 \\ &= u_c(0^-) \end{align*}$$

所以可以用值为 $u=u_c(0^-)$ 的电压源来等效电容,
实现对$t=0^+$时刻支路量的求解

经过换路后电容器两端的电荷：

$$\begin{align*} \frac{u_c(0^+)}{C} &= \frac{u_c(0^-)}{C} \\ q_c(0^+) &= q_c(0^-) \end{align*}$$

换路前后电感电流不能突变且磁链守恒

电感电流:

$$i_c(t) = i_c(0) + \frac{1}{L}∫_{0}^{t}udτ$$

经过换路后的电感电流：

$$\begin{align*} i_c(0^+) &= i_c(0^-) + \frac{1}{L}∫_{0^-}^{0^+}udτ \\ &= i_c(0^-) + 0 \\ &= i_c(0^-) \end{align*}$$

所以可以用值为 $i=i_L(0^-)$ 的电流源来等效电感,
实现对$t=0^+$时刻支路量的求解

经过换路后的电感磁链守恒：

$$\begin{align*} \frac{i_c(0^+)}{L} &= \frac{i_c(0^-)}{L} \\ Ψ_L(0^+) &= Ψ_L(0^-) \end{align*}$$

例题

计算换路后电压表上的电压,是否超过量程50V

换路前，

$i_L(0^-)=\frac{U}{R}=\frac{10}{10}=1A$

换路后：

$i_L(0^+)=i_L(0^-)=1A$

$u_v=-i_L(0^-)*R=-1*10k= -10kV$

利用和避免

• 左图，利用电感特性实现的点火器
• 右图，使用二极管给电感续流避免烧坏电压表

总结

求取初值的步骤

• 求取换路前的电路（电阻电路，稳态电路，电容看作开路，电感看作短路）
  • 找到$u_C(0^-)$ 或 $i_L(0^+)$
• 求取$t=0^+$时刻的电路
  • 拓扑结构为换路后的
  • 将电容替换为电压源 $u=u_C(0^+)=u_C(0^-)$
  • 将电感替换为电流源 $i=i_L(0^+)=i_L(0^-)$
  • 求取在 $t=0^+$ 时刻关心的任意支路量（电阻电路）