电容电感

电容电感

电容Capacitors

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  关于电容定义式的推导需要电磁场的知识，暂时不了解，跳过，以后再说

• 定义式： $C=\frac{q}{u}=ε\frac{s}{d}$
• 单位： F法
• 注意：
  • C与q和u无关，C只和介电常数ε、极板面积s、两极板之间距离d有关。
  • 类比于电阻：R=u/i但R与u和i无关，R只和导体的材质、横截面积等因素有关。
• 其上电流公式的推导：
  • 由于: $C=\frac{q}{u}$
  • 所以：$q=C*u$
  • 由于: $i=\frac{dq}{dt}$
  • 所以电容上电流为$i=\frac{dq}{dt}=\frac{d(C*u)}{dt}=C\frac{du}{dt}=C\dot{u}$
  • 所以可以认为：电容上的电流=C乘上电压的变化率(导数)。
• 其上电压公式的推导：
  • 由于: $i=C\frac{du}{dt}$
  • 所以：$du=\frac{1}{C}*i*dt$
  • 所以：$u=\frac{1}{C}∫{idt}$
  • 所以：$u(t)=\frac{1}{C}∫_{-∞}^{t}{idτ}$
    • 这里似乎都会把微分的dt写成dτ，原因应该是为了区分其不同的含义
  • 所以：$u(t)=\frac{1}{C}∫_{-∞}^{0}{idτ}+\frac{1}{C}∫_{0}^{t}{idτ}$
  • 所以：$u(t)=u(0)+\frac{1}{C}∫_{0}^{t}{idτ}$
  • 所以可以认为：t时刻电容上的电压=0时刻的其上的电压+ $\frac{1}{C}$ 乘上0到t时刻电流随时间的积分
• 吸收的功率
  • $P=ui=u*C\frac{du}{dt}$
• 吸收的能量
  • $W=Pt$
  • $W=∫{P(t)dτ}=∫{u*C\frac{du}{dτ}*dτ}=C∫{u*du}$
  • 所以：$W(t)=C∫_{-∞}^{t}{u*du}$
    • 注意：
      • 这里还可以写成 $W(t)=C∫_{-∞}^{t_0}{u*du}+C∫_{t_0}^{t}{u*du}$
      • 即t时刻吸收的能量=-∞到t0时刻吸收的能量 + t0到t时刻吸收的能量
      • 从而可以推出t0时刻到t时刻的能量变化，就是W(t0) 到 W(t) 能量的变化
  • 所以：$W(t)=C\frac{u^2}{2}|_{-∞}^{t}$
    • u可以是一个常数，也可以是t的函数，
    • 显然，u是常数时，吸收的能量为0
  • 所以：$W(t)=C\frac{u(t)^2}{2}-C\frac{u(-∞)^2}{2}$
  • 可以认为-∞时刻吸收的功率为0
  • 则: $W(t)=C\frac{u(t)^2}{2}$
    • 简写：$W=C\frac{u^2}{2}$
    • t0->t时刻的电容的能量变化：$C\frac{u(t_0)^2}{2}-C\frac{u(t)^2}{2}$
  • 另外：
    • 由于: $u=\frac{Q}{C}$
    • 所以带入可得：$W=C\frac{(\frac{Q}{C})^2}{2}=\frac{C}{2}\frac{Q^2}{C^2}=\frac{Q^2}{2C}$
    • 由于Q是>=0的，所以$W=\frac{Q^2}{2C}>=0$
• 并联等效
  • 并联等效电容：$C_{eq}=C_1+C_2$
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• 串联等效
  • 串联等效电容：$C_{eq}=\frac{C_1*C_2}{C_1+C_2}$
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• 串联分压
  • 利用KCL+KVL求解：
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  • 利用电荷守恒求解：

  • 这种方法是求解含有多个电容电路的常用技巧

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• 并联分流
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电感Inductors

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• 公式： $L=\frac{Ψ}{i}=μn^2S$
• 单位： H
• 其上电压
  • 根据法拉第电磁感应定律： $u=\frac{dΨ}{dt}$ （电势等于磁通量的变化速度）
  • 又因为： $Ψ=L*i$
  • 所以有：$u=\frac{d(Li)}{dt}=L\frac{di}{dt}$
    • 可知i为常数时，u=0
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• 其上电流
  • 可以根据其电压公式推导出来
  • $i=\frac{1}{L}∫_{-∞}^{t}{udτ}$
  • 和电容类似，可以得到：
  • $i(t) = i(0)+\frac{1}{L}∫_{0}^{t}{udτ}$
• 吸收的功率
  • $P=ui=i*L\frac{di}{dt}$
• 吸收的能量
  • $W=Pt$
  • $W(t)=∫{P(t)dτ}$
  • $W(t)=∫_{-∞}^{t}{i*L\frac{di}{dt}*dτ}$
  • $W(t)=L∫_{-∞}^{t}{idi}$
  • $W(t)=L∫_{-∞}^{0}{idi}+L∫_{0}^{t}{idi}$
  • $W(t)=W(0)+L∫_{0}^{t}{idi}$
  • 假设负无穷到0时刻吸收的能量为0,即W(0)=0,则可得到：
  • $W(t)=L∫_{0}^{t}{idi}=L\frac{1}{2}i^2|_0^t=L\frac{1}{2}i^2$
  • 由于$L=\frac{Ψ}{i}$ 所以$i=\frac{Ψ}{L}$，则可知：
  • $W(t)=L\frac{1}{2}(\frac{Ψ}{L})^2=\frac{1}{2L}Ψ^2>=0$
• 串联等效和并联等效
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• 串联分压和并联分流
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电容电感总结

忆阻器