任意激励下的时域分析(单位冲击函数和单位冲击响应)

单位脉冲函数(Unit Pulse Function)

使用单位阶跃函数定义单位脉冲函数：

$$\begin{align*} p(t) &= \frac{1}{\Delta}\epsilon(t)-\frac{1}{\Delta}\epsilon(t-\Delta) \\ S &= \frac{1}{\Delta} * \Delta = \int_{-\infty}^{+\infty} p(t)dt = 1 & \text{面积为1} \end{align*}$$

单位冲击函数(Unit Impulse Function)

使用单位脉冲函数定义单位冲击函数：

$$\begin{align*} \delta(t)&=\lim\limits_{\Delta \to 0} p(t) \\ \end{align*}$$

函数特点：

$$\begin{align*} \delta(t) &= \begin{cases} 0 &t<0 \\ \to+\infty &t \to 0\\ 0 &t>0 \ \end{cases} \\ S &= \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)dt =\int_{0^-}^{0^+} \delta(t)dt = 1 & \text{面积为1} \end{align*}$$

单位冲击函数的延时（平移性质）

$$\begin{align*} f(t)=\delta(t-t_0) \\ \end{align*}$$

函数特点：

$$\begin{align*} f(t)&=0 & t\neq t_0 \\ S&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=\int_{t_0^-}^{t_0^+}f(t)dt=1 & \text{面积为1}\\ \end{align*}$$

单位冲击函数和其他函数的乘积

$$\begin{align*} f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t) \\ \end{align*}$$

$$\begin{align*} S &= \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t) \\ &=f(0)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t) \\ &=f(0) * 1 \\ &=f(0) \end{align*}$$

延时单位冲击函数和其他函数的乘积

$$\begin{align*} &f(t)\delta(t-t_0) \\ &=f(t_0)\delta(t-t_0) \\ \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-t_0) \\ &=f(t_0)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0) \\ &=f(t_0) * 1 \\ &=f(t_0) \end{align*}$$

单位阶跃函数和单位冲击函数的关系

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{t}\delta(t)dt &= \begin{cases} \int_{-\infty}^{t}\delta(t)dt = 0 & t < 0^-\\ \int_{-\infty}^{0^+}\delta(t)dt = 1 & t = 0^+\\ \int_{-\infty}^{t}\delta(t)dt = 1 & t > 0^+\\ \end{cases} \\ &= \epsilon(t) \\ \frac{d}{dt}\epsilon(t) &= \delta(t) \\ \end{align*}$$